Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OADB的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（0，4）．過點(diǎn)C（﹣6，1）的雙曲線y=（k≠0）與矩形OADB的邊BD交于點(diǎn)E．

（1）填空：OA=　 ，k=　 　，點(diǎn)E的坐標(biāo)為　 　；

（2）當(dāng)1≤t≤6時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）與點(diǎn)N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直線交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P是過M，N兩點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)．

①當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線y=上時(shí)，求證：直線MN與雙曲線y=沒有公共點(diǎn)；

②當(dāng)拋物線y=﹣x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，求t的值；

③當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)P隨著t的變化同時(shí)向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求t的取值范圍，并求在運(yùn)動(dòng)過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積．

Answer 1

【答案】（1）6，﹣6，（﹣，4）；（2）①證明見解析；②t=或t=；③.

【解析】（1）根據(jù)題意將相關(guān)數(shù)據(jù)代入.

（2）①用t表示直線MN解析式，及b，c，得到P點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線y=解析式，證明關(guān)于t的方程無(wú)解即可；

②根據(jù)拋物線開口和對(duì)稱軸，分別討論拋物線過點(diǎn)B和在BD上時(shí)的情況；

③由②中部分結(jié)果，用t表示F、P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求出t的取值范圍及直線MN在四邊形OAEB中所過的面積．

解：（1）∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，0）

∴OA=6

∵過點(diǎn)C（﹣6，1）的雙曲線y=

∴k=﹣6

y=4時(shí)，x=

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，4）

故答案為：6，﹣6，（﹣，4）

（2）①設(shè)直線MN解析式為：y1=k1x+b1

由題意得：

解得,

∵拋物線y=﹣過點(diǎn)M、N,

∴,

解得

∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣x+5t﹣2

∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，5t﹣）

∵P在雙曲線y=﹣上

∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6

∴t=

此時(shí)直線MN解析式為：

聯(lián)立

∴8x2+35x+49=0

∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0

∴直線MN與雙曲線y=﹣沒有公共點(diǎn)．

②當(dāng)拋物線過點(diǎn)B，此時(shí)拋物線y=﹣x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)

∴4=5t﹣2，得t=

當(dāng)拋物線在線段DB上，此時(shí)拋物線與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)

∴，得t=

∴t=或t=

③∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，5t﹣）

∴yP=5t﹣

當(dāng)1≤t≤6時(shí)，yP隨t的增大而增大

此時(shí)，點(diǎn)P在直線x=﹣1上向上運(yùn)動(dòng)

∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣）

∴yF=﹣

∴當(dāng)1≤t≤4時(shí)，隨者yF隨t的增大而增大

此時(shí)，隨著t的增大，點(diǎn)F在y軸上向上運(yùn)動(dòng)

∴1≤t≤4

當(dāng)t=1時(shí)，直線MN：y=x+3與x軸交于點(diǎn)G（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)H（0，3）

當(dāng)t=4﹣時(shí)，直線MN過點(diǎn)A．

當(dāng)1≤t≤4時(shí)，直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積為

S=.