Question

如圖，在一些大小相等的正方形內(nèi)分別緊密排列著一些等圓．

（1）根據(jù)你的觀察與分析，你認(rèn)為正方形內(nèi)圓的數(shù)目是否呈規(guī)律性的變化？如果是，則第n個(gè)圖形中共有

n²

個(gè)圓；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)是a，分別計(jì)算圖①、②、③中陰影部分的面積；
（3）分析（2）中計(jì)算的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)你求出第n個(gè)圖形中陰影部分的面積來(lái)說(shuō)明你的發(fā)現(xiàn)．

Answer 1

分析：（1）觀察上圖可知第①個(gè)圖形圓的個(gè)數(shù)是1²=1，第②個(gè)圖形圓的個(gè)數(shù)是2²=4，第③個(gè)圖形圓的個(gè)數(shù)是3²=9，第④個(gè)圖形圓的個(gè)數(shù)是4²=16，第⑤個(gè)圖形圓的個(gè)數(shù)是5²=25，第⑥個(gè)圖形圓的個(gè)數(shù)是6²=36；由（1）可知第n個(gè)正方形中圓的個(gè)數(shù)為n²個(gè)；
（2）分別計(jì)算陰影部分的面積后即可得到答案；
（3）同樣計(jì)算陰影部分面積與上題結(jié)論相同，從而得到結(jié)論．

解答：解：（1）圖形①圓的個(gè)數(shù)是1，
圖形②圓的個(gè)數(shù)是4，
圖形③圓的個(gè)數(shù)是9，
圖形④圓的個(gè)數(shù)是16，
圖形⑤圓的個(gè)數(shù)是25，
圖形⑥圓的個(gè)數(shù)是36；
第n個(gè)正方形中圓的個(gè)數(shù)為n²個(gè)；

（2）圖①中 S陰影=a2-π•(

a

2

)2=

4-π

4

a2
圖②中 S陰影=a2-4•π•(

a

4

)2=

4-π

4

a2
圖③中  S陰影=a2-9•π•(

a

6

)2=

4-π

4

a2；

（3）三個(gè)圖形中陰影部分的面積均相等，與圓的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)．
第n圖形中陰影部分的面積是S陰影=a2-n•π•(

a

2n

)2=

4-π

4

a2
它是一個(gè)與n的取值無(wú)關(guān)的數(shù)值，
因此：按以上規(guī)律得到的所有圖形的陰影部分的面積
是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的定值．

點(diǎn)評(píng)：考查了規(guī)律型：圖形的變化，認(rèn)真觀察圖形，發(fā)現(xiàn)圖形的變化規(guī)律，得出第n個(gè)正方形中圓的個(gè)數(shù)為n²個(gè)是此題的關(guān)鍵．