Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，如果△APQ的周長為2，則∠PCQ的度數(shù)為

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   40°

Answer 1

B
分析：簡單的求正方形內(nèi)一個角的大小，首先從△APQ的周長入手求出PQ=DQ+BP，然后將△CDQ逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使得CD、CB重合，然后利用全等來解．
解答：解：如圖所示，
△APQ的周長為2，即AP+AQ+PQ=2①，
正方形ABCD的邊長是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，
∴AP+AQ+QD+PB=2②，
①-②得，PQ-QD-PB=0，
∴PQ=PB+QD．
延長AB至M，使BM=DQ．連接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），
∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，
∵∠DCQ+∠QCB=90°，
∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，
PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．
在△CPQ與△CPM中，
CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，
∴△CPQ≌△CPM（SSS），
∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．
故選B．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)，會運用正方形的性質(zhì)進行一些簡單的運算．