Question

已知：如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，作射線BF，使得BA平分∠CBF，過點(diǎn)A作AD⊥BF于點(diǎn)D．
（1）求證：DA為⊙O的切線；
（2）若BD=1，，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證AD是⊙O的切線，連接OA，只證∠DAO=90°即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求出AD，從而根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出⊙O的半徑．
解答：（1）證明：連接OA；
∵BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，
∴DA為⊙O的切線．

（2）解：∵BD=1，，
∴AD=2，
∴AB==，
∴cos∠DBA=；
∵∠DBA=∠CBA，
∴BC===5．
∴⊙O的半徑為2.5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了三角函數(shù)的知識(shí)．