Question

【題目】已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB=OC．

（1）求證：△ABC是等腰三角形；

（2）判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上，理由見解析

【解析】

試題分析：（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可證得△ABC是等腰三角形；

（2）首先連接AO并延長(zhǎng)交BC于F，通過證△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上．

（1）證明：∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，

∴∠BEC=∠CDB=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，

∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE=180°﹣∠CDB﹣∠CBD，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上．

理由：連接AO并延長(zhǎng)交BC于F，

在△AOB和△AOC中，

∴△AOB≌△AOC（SSS）．

∴∠BAF=∠CAF，

∴點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上．