Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點E． 
（1）求證：∠BCO=∠D；
（2）若CD=4

2

，AE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，等量代換即可得證；
（2）由弦CD與直徑AB垂直，利用垂徑定理得到E為CD的中點，求出CE的長，在直角三角形OCE中，設(shè)圓的半徑OC=r，OE=OA-AE，表示出OE，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑r的值．

解答：（1）證明：如圖．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B．
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，且CD⊥AB于點E，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

×4

2

=2

2

，
在Rt△OCE中，OC²=CE²+OE²，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OE=OA-AE=r-2，
∴r²=（2

2

）²+（r-2）²，
解得：r=3，
∴⊙O的半徑為3．

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及圓周角定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．