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【題目】已知,正方形ABPD的邊長為3,將邊DP繞點P順時針旋轉90°PC,E、F分別為線段DP、CP上兩個動點(不與D、P、C重合),且DE=CF,連接BE并延長分別交DF、DCH、G.

(1)①求證:△BPE≌△DPF,②判斷BGDF位置關系并說明理由;

(2)當PE的長度為多少時,四邊形DEFG為菱形并說明理由;

(3)連接AH,在點E、F運動的過程中,∠AHB的大小是否發(fā)生改變?若改變,請說出是如何變化的;若不改變,請求出∠AHB的度數.

【答案】(1)①見解析,②BGDF;(2)PE=3﹣3時,四邊形DEFG為菱形;

(3)45°.

【解析】分析:

(1)①由已知條件易得BP=DP=PC,∠BPE=∠DPF=90°結合DE=CF可得PE=PF,由此即可得到△BPE≌△DPF;②△BPE≌△DPF可得∠EBP=∠FDP,結合∠FDP+∠BFH=90°,可得∠EBP+∠BFH=90°,從而可得∠BHP=90°,由此可得BG⊥DF;

(2)如下圖1,連接EF、GF,由題意可知,要使四邊形DEFG是菱形,則必須使DE=EF,由(1)中所得△BPE≌△DPF可得PF=PE,設PE=x,DE=3-x=EF,由此在Rt△PEF中由勾股定理建立方程,解方程即可求得此時PE=x=,解題時把PE=作為一個條件,結合題目中的其它條件去證明此時四邊形DEFG為菱形即可;

(3)如圖2,連接BD,作出BD的中點O,連接AO,HO,由已知條件結合(1)中所得BG⊥DF易得OA=OB=OD=OH=BD,由此可得點A、B、H、D在以O為圓心、OA為半徑的圓上,從而可得∠AHB=∠ADB=45°.

詳解

(1)①證明:由旋轉的性質可知,△DPC是等腰直角三角形,

四邊形ABPD是正方形,

∴BP=PD=PC,∠BPE=∠DPF=90°,

∵DE=CF,

∴PE=PF,

△BPE△DPF中,

BP=PD,∠BPE=∠DPF,PE=PF,

∴△BPE≌△DPF;

②∵△BPE≌△DPF,

∴∠EBP=∠FDP,又∠FDP+∠BFH=90°,

∴∠EBP+∠BFH=90°,

∴∠BHP=90°,

∴BG⊥DF;

(2)當PE=時,四邊形DEFG為菱形;理由如下:

在正方形ABPD中,BP=PD=3,

∵PE=,EF=PE,

EF==6﹣3,DE=PD-PE=6﹣3,

∴EF=ED,

∵BG⊥DF,

∴EG垂直平分DF,

∴GD=GF,

∵∠PEF=∠PDC=45°,

∴EF∥DG,

∴∠EFD=∠FDG,

∵DE=EF,

∴∠EFD=∠EDF,

∴∠EDG=∠FDE,

∵BG⊥DF,

∴∠DEG=∠DGE,

∴DE=DG,

∴DE=DG=GF=EF,

四邊形DEFG是菱形;

(3)∠AHB的大小不變,∠AHB=45°,

連接BD,取BD的中點O,連接OA、OH,

四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,

∵BG⊥DF,

∴∠DHB=90°,

OA=OB=OD=OH=BD,

A、B、H、D在以O為圓心、OA為半徑的圓上,

∴∠AHB=∠ADB=45°.

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