Question

【題目】已知∠AOB=70°，∠AOD=∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），則∠BOC的度數(shù)是______．

Answer 1

【答案】10°或14°或30°或42°

【解析】

①當(dāng)射線(xiàn)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，此時(shí)射線(xiàn)OD的位置只有兩種可能：i）若射線(xiàn)OD在∠AOC內(nèi)部，ii）若射線(xiàn)OD在∠AOB外部，

②當(dāng)射線(xiàn)OD在∠AOB外部時(shí)，i）若射線(xiàn)DO在∠AOB內(nèi)部，ii）若射線(xiàn)OD在∠AOB外部分別求出即可．

解：設(shè)∠BOC=α，

∴∠BOD=3∠BOC=3α，

依據(jù)題意，分兩種情況：

①當(dāng)射線(xiàn)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，此時(shí)射線(xiàn)OD的位置只有兩種可能：

i）若射線(xiàn)OD在∠AOC內(nèi)部，如圖2，

∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=2α，

∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，

∴α=14°，

∴∠BOC=14°；

ii）若射線(xiàn)OD在∠AOB外部，如圖3，

∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=α，

∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-α=α=70°，

∴α=30°，

∴∠BOC=30°；

②當(dāng)射線(xiàn)OD在∠AOB外部時(shí)，

依據(jù)題意，此時(shí)射線(xiàn)OC靠近射線(xiàn)OB，

∵∠BOC＜45°，∠AOD=∠AOC，

∴射線(xiàn)OD的位置也只有兩種可能：

i）若射線(xiàn)DO在∠AOB內(nèi)部，如圖4，

則∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=4α，

∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=4α，

∴AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，

∴α=10°，

∴∠BOC=10°

ii）若射線(xiàn)OD在∠AOB外部，如圖5，

則∠COD=∠BOC+∠DOB=4α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=α，

∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-α=α=70°，

∴α=42°，

∴∠BOC=42°，

綜上所述：∠BOC的度數(shù)分別是10°，14°，30°，42°．

故答案為：10°或14°或30°或42°