Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．

（1）求直線AB的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（，0）時(shí)，求此時(shí)DP的長及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）是否存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）如答圖1，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F。

由已知得：BF=OE=2，∴。

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，2）。

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），則有

，解得。

∴直線AB的解析式是。

（2）∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，

∴△ABD≌△AOP。∴AP=AD，∠DAB=∠PAO。

∴∠DAP=∠BAO=60°。∴△ADP是等邊三角形。

∴。

如答圖2，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，延長EB交DH于點(diǎn)G，則BG⊥DH。

在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，

∴BG=BDcos60°=．DG=BDsin60°=。

∴OH=EG=，DH=。

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）。

（3）存在。

假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動(dòng)過程中，使△OPD的面積等于。

設(shè)點(diǎn)P為（t，0），下面分三種情況討論：

①當(dāng)t＞0時(shí)，如答圖2，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t。

∵△OPD的面積等于，∴，

解得（舍去）。

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（，0）。

②∵當(dāng)D在x軸上時(shí)，如答圖3，

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=，

∴當(dāng)＜t≤0時(shí)，如答圖1，BD=OP=﹣t，DG=t，

∴GH=BF=2﹣（t）=2+t。

∵△OPD的面積等于，∴，解得。

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（，0）。

③當(dāng)t≤時(shí)，如答圖4，BD=OP=﹣t，DG=t，

∴DH=t﹣2。

∵△OPD的面積等于，

∴，解得（舍去）。

∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（，0）。

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、

P4（，0）。

【解析】（1）過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求解。

（2）由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數(shù)求出BG=BDcos60°，DG=BDsin60°．然后求出OH，DH，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（3）分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)P在x軸正半軸上時(shí)，即t＞0時(shí)；

②當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，但D在x軸上方時(shí)；即＜t≤0時(shí)

③當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，D在x軸下方時(shí)，即t≤時(shí)。

綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值。