Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線(xiàn)OB上，另一邊ON在直線(xiàn)AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．問(wèn)：此時(shí)直線(xiàn)ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒10°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線(xiàn)ON恰好平分銳角∠AOC，則 t的值為 秒（直接寫(xiě)出結(jié)果）．

（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，試探索：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠AOM與∠NOC的差是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)差值；若變化，請(qǐng)求出差的變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）直線(xiàn)ON平分∠AOC；（2）12或30秒；（3）差為定值30°．

【解析】試題分析：（1）直線(xiàn)ON平分∠AOC，設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線(xiàn)為OD，已知OM平分∠BOC，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠MOC=∠MOB，又由OM⊥ON，根據(jù)垂直的定義可得∠MOD=∠MON=90°，所以∠COD=∠BON，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AOD=∠BON，即可∴∠COD=∠AOD，結(jié)論得證；（1）已知∠BOC=120°，根據(jù)平角的定義可得∠AOC=60°，旋轉(zhuǎn)至直線(xiàn)ON恰好平分銳角∠AOC，可得旋轉(zhuǎn)120°或300°時(shí)ON平分∠AOC，由此可得10t=120°或300°，所以n=12或30；（3）差為定值30°，因?yàn)椤?/span>MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，再根據(jù)角的的和差計(jì)算即可．

試題解析：

（1）直線(xiàn)ON平分∠AOC．理由：

設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線(xiàn)為OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB，

又∵OM⊥ON，

∴∠MOD=∠MON=90°，

∴∠COD=∠BON，

又∵∠AOD=∠BON（對(duì)頂角相等），

∴∠COD=∠AOD，

∴OD平分∠AOC，即直線(xiàn)ON平分∠AOC．

（2）12或30秒

（3）差為定值30°

∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．