Question

【題目】如圖，過(guò)A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=﹣x+4于C、D兩點(diǎn)．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)O、C、D三點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合），在平移的過(guò)程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x．（2）存在．點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或或．（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）由題意，可知MN∥AC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則求出MN=|x2-4x|；解方程|x2-4x|=3，求出x的值，即點(diǎn)M橫坐標(biāo)的值；

（3）設(shè)水平方向的平移距離為t（0≤t＜3），利用平移性質(zhì)求出S的表達(dá)式：S=-（t-1）2+；當(dāng)t=1時(shí)，s有最大值為．

試題解析：（1）由題意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx．

∴，解得，

∴拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+x．

（2）存在．

設(shè)直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入，

求得k=，

∴直線OD解析式為y=x．

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，x），N（x，-x2+x），

∴MN=|yM-yN|=|x-（-x2+x）|=|x2-4x|．

由題意，可知MN∥AC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．

∴|x2-4x|=3．

若x2-4x=3，整理得：4x2-12x-9=0，

解得：x=或x=；

若x2-4x=-3，整理得：4x2-12x+9=0，

解得：x=．

∴存在滿足條件的點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或或．

（3）∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直線OC的解析式為y=3x，直線OD的解析式為y=x．

如解答圖所示，

設(shè)平移中的三角形為△A′O′C′，點(diǎn)C′在線段CD上．

設(shè)O′C′與x軸交于點(diǎn)E，與直線OD交于點(diǎn)P；

設(shè)A′C′與x軸交于點(diǎn)F，與直線OD交于點(diǎn)Q．

設(shè)水平方向的平移距離為t（0≤t＜3），

則圖中AF=t，F(xiàn)（1+t，0），Q（1+t，+t），C′（1+t，3-t）．

設(shè)直線O′C′的解析式為y=3x+b，

將C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，

∴直線O′C′的解析式為y=3x-4t．

∴E（t，0）．

聯(lián)立y=3x-4t與y=x，解得x=t，

∴P（t，t）．

過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=t．

∴S=S△OFQ-S△OEP=OFFQ-OEPG

=（1+t）（+t）-tt

=-（t-1）2+

當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值為．

∴S的最大值為．