Question

如圖，點A在第四象限，⊙A與x軸相切于點B，與y軸相交于C（O，-1）和D（0，-4），則點A的坐標是（ ）

A．（2，2.5）
B．（2.5，-2）
C．（-2，2.5）
D．（2，-2.5）

Answer 1

【答案】分析：連接AB，AC，過A作AE垂直于y軸，交y軸于點E，由垂徑定理得到E為CD的中點，再由圓A與x軸相切，得到AB垂直于x軸，利用三個角是直角的四邊形為矩形可得出ABOE為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得出AB=OE，OB=AE，由C和D的坐標得出OC及OD的長，由OD-OC求出CD的長，進而求出CE的長，再由OC+CE求出OE的長，即為A的縱坐標，在直角三角形ACE中，OE=AB=AC，由AC及CE的長，利用勾股定理求出AE的長，可得出OB的長，即為A的橫坐標，即可確定出A的坐標．
解答：解：如圖所示：

連接AB，AC，過A作AE⊥y軸，交y軸于點E，
可得E為CD的中點，即CE=DE，
∵C（O，-1）和D（0，-4），
∴OC=1，OD=4，
∴CD=OD-OC=3，
∴CE=DE=1.5，
∵圓A與x軸相切，
∴AB⊥x軸，
又∵兩坐標軸垂直，且AE⊥y軸，
∴∠BOE=∠AEO=90°，
∴四邊形ABOE為矩形，
∴AB=OE，OB=AE，
∴AB=OE=OC+CE=1+1.5=2.5，
在直角三角形ACE中，
根據(jù)勾股定理得：AE===2，
∴OB=AE=2，
則點A的坐標為（2，2.5）．
故選A
點評：此題考查了切線的性質，坐標與圖形性質，勾股定理，垂徑定理，以及矩形的判定與性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵，此外遇到直線與圓相切，注意連接圓心與切點．