Question

如圖，點(diǎn)A在第四象限，⊙A與x軸相切于點(diǎn)B，與y軸相交于C（O，-1）和D（0，-4），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是

1. A.
   （2，2.5）
2. B.
   （2.5，-2）
3. C.
   （-2，2.5）
4. D.
   （2，-2.5）

Answer 1

A
分析：連接AB，AC，過(guò)A作AE垂直于y軸，交y軸于點(diǎn)E，由垂徑定理得到E為CD的中點(diǎn)，再由圓A與x軸相切，得到AB垂直于x軸，利用三個(gè)角是直角的四邊形為矩形可得出ABOE為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得出AB=OE，OB=AE，由C和D的坐標(biāo)得出OC及OD的長(zhǎng)，由OD-OC求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CE的長(zhǎng)，再由OC+CE求出OE的長(zhǎng)，即為A的縱坐標(biāo)，在直角三角形ACE中，OE=AB=AC，由AC及CE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，可得出OB的長(zhǎng)，即為A的橫坐標(biāo)，即可確定出A的坐標(biāo)．
解答：如圖所示：

連接AB，AC，過(guò)A作AE⊥y軸，交y軸于點(diǎn)E，
可得E為CD的中點(diǎn)，即CE=DE，
∵C（O，-1）和D（0，-4），
∴OC=1，OD=4，
∴CD=OD-OC=3，
∴CE=DE=1.5，
∵圓A與x軸相切，
∴AB⊥x軸，
又∵兩坐標(biāo)軸垂直，且AE⊥y軸，
∴∠BOE=∠AEO=90°，
∴四邊形ABOE為矩形，
∴AB=OE，OB=AE，
∴AB=OE=OC+CE=1+1.5=2.5，
在直角三角形ACE中，
根據(jù)勾股定理得：AE===2，
∴OB=AE=2，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2.5）．
故選A
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，以及矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵，此外遇到直線與圓相切，注意連接圓心與切點(diǎn)．