Question

如圖，⊙O的圓心在坐標原點，⊙O與x軸正半軸交于點B，延長OB至點A使AB=OB，過點A作⊙O的切線AC，切點為C，P為⊙O上一點（不在弧BC上），則cos∠BPC的值為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用切線的性質(zhì)、30度角所對直角邊是斜邊的一半證得∠CAO=30°，則易求∠COA=60°；然后利用圓周角定理推知∠BPC=∠BOC=30°，從而求得cos∠BPC的值．
解答：解：如圖，連接OC．
∵AC是⊙O的切線，點C是切點，
∴∠ACO=90°．
∵OC=OB，OB=AB，
∴OC=OA，
∴∠CAO=30°，
∴∠AOC=60°．
∴∠BPC=∠BOC=30°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∴cos∠BPC=cos∠30°=；
故選C．
點評：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及特殊角的三角函數(shù)值．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．