【題目】如圖是二次函數(shù)的圖象,其頂點坐標為M(1,-4).

1)求出圖象與軸的交點A、B的坐標;

2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P,使,若存在,求出P點的坐標;若不存在,請說明理由;

3)在y軸上存在一點Q,使得QMB周長最小,求出Q點坐標。

【答案】(1)A(-1,0)B(3,0)(2)P(0,-3),Q(2,-3),Q( ,3),Q(,3)(3)Q(0,-3).

【解析】試題分析:(1)把頂點坐標代入函數(shù)解析式,然后令y=0,解關于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標;

(2)設點PAB的距離為h,利用三角形的面積列式求出h,再分點Px軸下方和上方兩種情況把點P的縱坐標代入函數(shù)解析式求解即可;

(3)根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,找出點M關于y軸的對稱點M,連接BMy軸的交點即為所求的點Q,利用待定系數(shù)法求出直線BM的函數(shù)解析式,再令x=0求解即可.

(1)∵頂點坐標為M(1,4)

∴二次函數(shù)為y=(x1)24,

y=0,(x1)24=0,

解得x1=1,x2=3,

A(1,0),B(3,0)

(2)設點PAB的距離為h,

SPAB=34SMAB

ABh=,

解得h=3,

當點Px軸下方時,點P的縱坐標是3,

(x1)24=3,

解得x1=0,x2=2,

此時點P的坐標為(0,3)(2,3)

Px軸上方時,P的縱坐標為3,

(x1)24=3,

解得x1=+1,x2=+1,

此時點P的坐標為(+1,3)(+1,3),

綜上所述,P的坐標為(0,3),(2,3),( +1,3),( +1,3);

(3)如圖,取點M(1,4)關于y軸的對稱點M′(1,4),

連接BMy軸的交點即為使得QMB周長最小的點Q,

設直線BM的解析式為y=kx+b

,

解得,

BM的解析式為y=x3

x=0,則y=3,

所以,Q的坐標為P(0,3).

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