Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60º．

    （1）求⊙O的直徑；

（2）若D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)CD，當(dāng)BD長(zhǎng)為多少時(shí)，CD與⊙O相切；

（3）若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以1cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，連結(jié)EF，當(dāng)為何值時(shí)，△BEF為直角三角形．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑  ∴∠ACB＝90º∵∠ABC＝60º

∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º∴AB＝2BC＝4cm  即⊙O的直徑為4cm．

（2）如圖1，CD切⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)OC，則OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．

∴CD⊥CO（圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑）∴∠OCD＝90º∵∠BAC＝ 30º

    ∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º   ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º  ∴OD＝2OC＝4cm

∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）  ∴當(dāng)BD長(zhǎng)為2cm，CD與⊙O相切．

（3）根據(jù)題意得：AE＝tcm[CM1] ；BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如圖2，當(dāng)EF⊥BC時(shí)，△BEF為直角三角形，此時(shí)△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC

即：（4－2t）：4＝t：2   解得：t＝1

如圖3，當(dāng)EF⊥BA時(shí)，△BEF為直角三角形，此時(shí)△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA

即：（4－2t）：2＝t：4   解得：t＝1.6    ∴當(dāng)t＝1s或t＝1.6s時(shí)，△BEF為直角三角形．