Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ， ）和B（4，m），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（4，m）在直線y=x+2上，

∴m=6，即B（4，6），

∵A（ ， ）和B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，

∴ ，

解得： ，

∴拋物線的解析式y(tǒng)=2x2﹣8x+6

（2）

解：存在．

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n+2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，2n2﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣ ）2+ ，

∵﹣2＜0，

∴開(kāi)口向下，有最大值，

∴當(dāng)n= 時(shí)，線段PC有最大值

【解析】（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入直線解析式，求出m的值，然后把A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求出a、b，即可求得解析式；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n+2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，2n2﹣8n+6），表示出PC的長(zhǎng)度，然后利用配方法求出二次函數(shù)的最大值，并求出此時(shí)n的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．