Question

已知AB是⊙O的直徑，BE是⊙O的切線，點(diǎn)D是射線BE上一動(dòng)點(diǎn)，且弦AC∥OD．
（1）試說(shuō)明：CD是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，有AC=r？

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，連接OD．欲證明CD是⊙O的切線，只需證明CD⊥OD；
（2）如圖2，根據(jù)勾股定理逆定理證得△AOC是直角三角形；然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)推知四邊形OCDB是矩形，則BD=OC=r，即點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)B為r處時(shí)，AC=r．
解答：（1）證明：如圖，∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵AC∥OD，
∴∠1=∠3，∠1=∠4，
∴∠3=∠4，
∴在△DCO與△DBO中，
，
∴△DCO≌△DBO（SAS），
∠DCO=∠DBO．
又∵BE是⊙O的切線，
∴∠DBO=90°，
∴∠DCO=90°，即CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）如圖2，在△AOC中，OA=OC=r．
∵AC=r，
∴AC²=OA²+OB²，
∴∠AOC=90°，即OC⊥AB．
又∵OC⊥CD，BD⊥AB，
∴四邊形OCDB是矩形．
∴BD=OC=r，即點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)B為r處時(shí)，AC=r．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理以及矩形的判定與性質(zhì)．注意此題輔助線的作法，是連接切點(diǎn)與圓心，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)直角三角形 的性質(zhì)解答問(wèn)題．