Question

18．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）和點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)C從原點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿BO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C、D同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C、D停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，△CED的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△CED的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8；再令y=0，得：-$\frac{1}{2}$x²+3x+8=0，解方程可得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意得：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BD=t，OC=t，然后由點(diǎn)A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8-t，然后令y=0，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），進(jìn)而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式為：S=-$\frac{1}{2}$t²+5t，然后轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出最值為：S_最大=$\frac{25}{2}$．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{-\frac{1}{2}×64+8b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=3，c=8，
故拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8，
∵點(diǎn)A（0，8）、B（8，0），
∴OA=8，OB=8，
令y=0，得：-$\frac{1}{2}$x²+3x+8=0，
解得：x₁=8，x₂=-2，
∵點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)E（-2，0），
∴OE=2；
（2）根據(jù)題意得：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BD=t，OC=t，
∴OD=8-t，
∴DE=OE+OD=10-t，
∴S=$\frac{1}{2}$•DE•OC=$\frac{1}{2}$•（10-t）•t=-$\frac{1}{2}$t²+5t，
即S=-$\frac{1}{2}$t²+5t=-$\frac{1}{2}$（t-5）²+$\frac{25}{2}$，
∴當(dāng)t=5時(shí)，S_最大=$\frac{25}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練以下知識(shí)點(diǎn)：用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)的最值問題，三角形的面積公式，綜合性較強(qiáng)，難度中等．