Question

如圖，正三角形的邊長為．
（1）如圖①，正方形的頂點在邊上，頂點在邊上．在正三角形及其內部，以為位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）；
（2）求（1）中作出的正方形的邊長；
（3）如圖②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在邊上，點分別在邊上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由．
（無原圖）

Answer 1

（1）見解析（2）（3），，理由見解析

解：（1）如圖①，正方形即為所求．

（2）設正方形的邊長為．
∵△為正三角形，
∴．
∴．
∴，即．（沒有分母有理化也對，也正確）
（3）如圖②，連接，則．

設正方形、正方形的邊長分別為，
它們的面積和為，則，．
∴．
∴．
延長交于點，則．
在中，．
∵，即．
∴�。┊�時，即時，最�。�
∴．
ⅱ）當最大時，最大．
即當最大且最小時，最大．
∵，由（2）知，．
∴．
∴