【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.
(1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù).
(3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC= ,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長(zhǎng).

【答案】
(1)解:如圖1中,∵∠A=40°,∠B=60°,

∴∠ACB=80°,

∴△ABC不是等腰三角形,

∵CD平分∠ACB,

∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°,

∴∠ACD=∠A=40°,

∴△ACD為等腰三角形,

∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,

∴△BCD∽△BAC,

∴CD是△ABC的完美分割線


(2)解:①當(dāng)AD=CD時(shí),如圖2,∠ACD=∠A=48°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°,

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.

②當(dāng)AD=AC時(shí),如圖3中,∠ACD=∠ADC= =66°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°,

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.

③當(dāng)AC=CD時(shí),如圖4中,∠ADC=∠A=48°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°,

∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍棄.

∴∠ACB=96°或114°.


(3)解:由已知AC=AD=2,

∵△BCD∽△BAC,

,設(shè)BD=x,

∴( 2=x(x+2),

∵x>0,

∴x= ﹣1,

∵△BCD∽△BAC,

= = ,

∴CD= ×2=


【解析】(1)根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA即可.(2)分三種情形討論即可①如圖2,當(dāng)AD=CD時(shí),②如圖3中,當(dāng)AD=AC時(shí),③如圖4中,當(dāng)AC=CD時(shí),分別求出∠ACB即可.(3)設(shè)BD=x,利用△BCD∽△BAC,得 ,列出方程即可解決問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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第③個(gè)圖形比第②個(gè)圖形多5個(gè)小正方形;……

(n+1)個(gè)圖形比第n個(gè)圖形多________個(gè)小正方形;

可發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論:(1)1+3+5+……+(2n-1)= ____________;

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(1)如果按小學(xué)每生每年收借讀費(fèi)元,中學(xué)每生每年收借讀費(fèi)元計(jì)算,求2005年新增加的名中小學(xué)學(xué)生共免收多少借讀費(fèi)”?

(2)如果小學(xué)每增加名學(xué)生需配備名教師,中學(xué)每增加名學(xué)生需配備名教師,若按2005年秋季入學(xué)后,農(nóng)民工子女在主城區(qū)中小學(xué)就讀的學(xué)生增加的人數(shù)計(jì)算,一共需要配備多少名中小學(xué)教師?

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