Question

【題目】已知，如圖1：△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F

（1）直接寫出圖1中所有的等腰三角形．指出EF與BE、CF間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（2）在（1）的條件下，若AB=15，AC=10，求△AEF的周長(zhǎng)；

（3）如圖2，若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACG的平分線CO交于點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F，請(qǐng)問(wèn)（1）中EF與BE、CF間的關(guān)系還是否存在，若存在，說(shuō)明理由：若不存在，寫出三者新的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（4）如圖3，∠ABC、∠ACB的外角平分線的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O，請(qǐng)直接寫出EF，BE，CF，MN之間的數(shù)量關(guān)系．不需證明．

Answer 1

【答案】（1）△BEO、△CFO是等腰三角形，EF= BE+CF；（2）25；（3）（1）中結(jié)論不成立，新結(jié)論為：EF=BE﹣CF，理由見(jiàn)解析；（4）EF=BE+MN+CF．

【解析】

（1）利用角平分線和平行線的即可得出結(jié)論；

（2）利用（1）的結(jié)論即可得出結(jié)論；

（3）同（1）的方法即可得出結(jié)論；

（4）同（1）的方法即可得出結(jié)論．

（1）∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO=∠CBO．

∵EF∥BC，∴∠CBO=∠BOE，∴∠EBO=∠EOB，∴BE=OE，∴△BEO是等腰三角形．

同理：△CFO是等腰三角形，EF=OE+OF=BE+CF；

（2）由（1）知，OE=BE，OF=CF，∴AEF的周長(zhǎng)為AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=25；

（3）（1）中結(jié)論不成立，新結(jié)論為：EF=BE﹣CF，理由：

∵BO是∠ABC的平分線，∴∠ABO=∠CBO．

∵EF∥BC，∴∠CBO=∠EOB，∴∠ABO=EOB，∴OE=BE．

同理：CF=OF，∴EF=OE﹣OF=BE﹣CF．

（4）∵BO是∠CBE的平分線，∴∠EBO=∠CBO．

∵EF∥BC，∴∠EMB=∠CBO，∴∠EBM=∠EMB，∴BE=EM，同理：FN=CF，∴EF=EM+MN+FN=BE+MN+CF．