Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（8,0）和B（0,6），點(diǎn)P為x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，畫△ABP的外接圓，圓心為M，連結(jié)BM并延長交圓于點(diǎn)C，連結(jié)CP.

（1）求證：.∠OBP=∠ABC

（2）當(dāng)的直徑為14時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）如圖2，連結(jié)OC，求OC的最小值和OC達(dá)到最小值時(shí)△ABP的外接圓圓心M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°及等角（或同角）的余角相等即可證明；

（2）先根據(jù)勾股定理求得AC的長，再證△OBP∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解；

（3）記直線AC與y軸的交點(diǎn)為E，當(dāng)OC最小時(shí)，OC⊥AE，根據(jù)解直角三角形和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.

（1）連結(jié)AC，

∵BC為的直徑，

∴∠BAC=∠BOP=90°

∵∠ACB=∠APB

∴∠OBP+∠APB=∠ABC+∠ACB=90°

∴∠OBP=∠ABC.

（2）∵∠BAC=90°， A（8，0）和B（0，6），

∴OB=6，OA=8，

∴AB=10

∴

∵∠BAC=∠BOP=90°，∠OBP=∠ABC，

∴△OBP∽△ABC

∴，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）記直線AC與y軸的交點(diǎn)為E，

∵

則∠OAE=∠OBA=90°-∠BAO

當(dāng)OC最小時(shí)，OC⊥AE，

此時(shí)，OC=OA sin∠OAE=OAsin∠OBA，

求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為

又∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)

∴，，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為.