Question

如圖，以線(xiàn)段AB為直徑的⊙O交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，OM交AC于點(diǎn)D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；
（3）求MD的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出∠A的度數(shù)．
（2）要證BC是⊙O的切線(xiàn)，只要證明AB⊥BC即可．
（3）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求出MD的長(zhǎng)度．
解答：（1）解：∵∠BOE=60°，
∴∠A=∠BOE=30°．（2分）

（2）證明：在△ABC中，∵cosC=，
∴∠C=60°．（1分）
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．（2分）
∴BC是⊙O的切線(xiàn)．（3分）

（3）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴OM⊥AE．（1分）
在Rt△ABC中，∵BC=2，
∴AB=BC•tan60°=2×=6．（2分）
∴OA==3，
∴OD=OA=，
∴MD=．（3分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的知識(shí)、切線(xiàn)的判定．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．