【題目】已知,點O是等邊ABC內(nèi)的任一點,連接OA,OB,OC.

(1)如圖1,已知AOB=150°,BOC=120°,將BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得ADC.

DAO的度數(shù)是

②用等式表示線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

(2)設(shè)AOB=α,BOC=β.

①當(dāng)α,β滿足什么關(guān)系時,OA+OB+OC有最小值?請在圖2中畫出符合條件的圖形,并說明理由;

②若等邊ABC的邊長為1,直接寫出OA+OB+OC的最小值.

【答案】(1)90°;②線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2+OB2=OC2,證明見試題解析;

(2)①當(dāng)α=β=120°時,OA+OB+OC有最小值.證明見試題解析;②線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2+OB2=OC2,證明見試題解析。

【解析】

試題分析:(1)①根據(jù)周角的定義得到AOC=360°﹣120°﹣150°=90°,由于將BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得ADC,于是得到OCD=60°,D=BOC=120°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論;②如圖1,連接OD,由于BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得ADC,得到ADC≌△BOC,OCD=60°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=OC,ADC=BOC=120°,AD=OB,推出OCD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OC=OD=CD,COD=CDO=60°,由于AOB=150°,BOC=120°,得到AOC=90°,求得AOD=30°,ADO=60°,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論;

(2)①如圖2,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到O′C=OC,O′A′=OA,A′C=BC,A′O′C=AOC..推出OC O′是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OC=O′C=OO′,COO′=CO′O=60°,由于AOB=BOC=120°,得到AOC=A′O′C=120°,推出四點B,O,O′,A′共線,即可得到結(jié)論,②根據(jù)①的結(jié)論即可得到結(jié)果.

試題解析:(1)①AOB=150°,BOC=120°,∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°,

BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得ADC,

∴∠OCD=60°,D=BOC=120°,

∴∠DAO=360°﹣AOC﹣OCD﹣D=90°,

故答案為:90°;

②線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2+OB2=OC2,

如圖1,連接OD,

∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得ADC,

∴△ADC≌△BOC,OCD=60°,CD=OC,ADC=BOC=120°,AD=OB,

∴△OCD是等邊三角形,OC=OD=CD,COD=CDO=60°,

∵∠AOB=150°,BOC=120°,∴∠AOC=90°,

∴∠AOD=30°,ADO=60°,∴∠DAO=90°,

在RtADO中,DAO=90°,OA2+OB2=OD2,OA2+OB2=OC2

(2)①當(dāng)α=β=120°時,OA+OB+OC有最小值.

如圖2,將AOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得A′O′C,連接OO′,

∴△A′O′C≌△AOC,OCO′=ACA′=60°,

O′C=OC,O′A′=OA,A′C=BC,A′O′C=AOC.

∴△OC O′是等邊三角形,OC=O′C=OO′,COO′=CO′O=60°,

∵∠AOB=BOC=120°,∴∠AOC=A′O′C=120°,

∴∠BOO′=OO′A′=180°,四點B,O,O′,A′共線,

OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′時值最;

∵∠AOB=BOC=120°,∴∠AOC=120°,O為ABC的中心,

四點B,O,O′,A′共線,BDAC,AOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得A′O′C,

A′C=AC=BC,A′B=2BD,在RtBCD中,BD=BC=,A′B=

當(dāng)?shù)冗?/span>ABC的邊長為1時,OA+OB+OC的最小值A(chǔ)′B=

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