Question

如圖，正△ABC中，MN∥AC，

BM

AM

=

3

2

，D為AC上的一點，O為△BMN的外心，如果

S△AOD

S△ABC

=

1

5

，那么

AD

AC

為

1

3

．

Answer 1

分析：連BO交MN于F，交AC于E；由△ABC為等邊三角形，MN∥AC得△BMN為等邊三角形，而O為△BMN的外心，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BF⊥MN，且O為△BMN的內(nèi)心，則BO：OF=2，易得BE⊥AC，BO：BF=2：3①；再利用平行線分線段成比例定理得BF：BE=MB：BA=3：5，利用比例性質(zhì)得BF：BE=3：5②，由①②得BO：BE=2：5，則OE：BE=3：5，然后根據(jù)三角形的面積公式和S_△OAD：_△ABC=1：5即可計算出AD與AC的比．

解答：解：連BO交MN于F，交AC于E，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，MN∥AC
∴△BMN為等邊三角形，
而O為△BMN的外心，
∴BF⊥MN，BO：OF=2，
∴BE⊥AC，BO：BF=2：3①，
又∵M(jìn)N∥AC，
∴BF：BE=MB：BA，
而MB：AM=3：2，即有BM：AB=3：5，
∴BF：BE=3：5②，
由①②得BO：BE=2：5，
∴OE：BE=3：5，
而S_△OAD=

1

2

AD•OE，S_△ABC=

1

2

AC•BE，
∵S_△OAD：_△ABC=1：5，
∴

AD•OE

AC•BE

=

1

5

，
∴

AD

AC

=

1

3

．
故答案為

1

3

．

點評：本題考查了三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)．