Question

【題目】已知：平行四邊形中，且平分交于點(diǎn)， 交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，連接，與線段交于點(diǎn)，

（1）如果邊長(zhǎng)為，求的面積．

（2）求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）求△CBE的面積，只需找到三角形的一邊及相應(yīng)邊上的高可求其面積，角平分線和平行線性質(zhì)易求BE的長(zhǎng)，構(gòu)造BE邊上的高，在等腰直角三角形中由勾股定理易求CH的長(zhǎng)；

（2）由EG＝EN得，．=，可知構(gòu)建一個(gè)等腰直角三角形，作G點(diǎn)關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)M，連接ME、MG、MN，證明EMN＝90°即可

(如圖1)過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線，交于點(diǎn)

平分，且

∴∠DCE=∠BCE，∠DCE=∠CEB.

∴

∵AD=BD,∠ADB=90°，∴∠A=45°.

∴∠CBM=∠A=45°.

在中，

解得

圖1

證明：(圖1的方法)過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M

且

又平分且

∴∠DCE=∠BCE，∠DCE=∠CEB.

∴

∴BE=BC.

又∵AD=BC，AD=BD，

∴

又

在中

為公共邊，

又

又

由

∵∠GEB+∠GBE=∠MGE=45°，

∴∠GEB=∠GBE.

得

由是等腰直角三角形得

由

可得

又

由

得

即