Question

【題目】已知，如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿著x軸正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ垂直于直線OA，垂足為點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間t秒（0＜t＜2），△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S．

（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式，并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx（a≠0），

把點(diǎn)A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，

，

解得： ，

故拋物線解析式為y= x2﹣ x

（2）

解：∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴OP=2t，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t，0），

∵A（1，﹣1），

∴∠AOC=45°，

∴點(diǎn)Q到x軸、y軸的距離都是 OP= ×2t=t，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，﹣t）

（3）

解：如圖，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，

OP=1×2=2，t=2÷2=1，

點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，OP=3，t=3÷2=1.5，

t=2時(shí)，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此時(shí)PQ經(jīng)過點(diǎn)B，

所以，分三種情況討論：

①0＜t≤1時(shí)，重疊部分的面積等于△POQ的面積，S= ×（2t）× =t2，

②1＜t≤1.5時(shí)，重疊部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積的差，

S=S△OP′Q′﹣S△AEQ′= ×（2t）× ﹣ ×（ t﹣ ）2=2t﹣1；

③1.5＜t＜2時(shí)，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個(gè)等腰直角三角形的面積

S=S梯形OABC﹣S△BGF= ×（2+3）×1﹣ ×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+ ；

所以，S與t的關(guān)系式為S= ．

【解析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx（a≠0），然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求出a、b的值，即可得解，再把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)P的速度求出OP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出∠AOC=45°，然后判斷出△POQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；（3）求出點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)的t=1，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)的t=1.5，t=2時(shí)PQ經(jīng)過點(diǎn)B，然后分①0＜t≤1時(shí)，重疊部分的面積等于△POQ的面積，②1＜t≤1.5時(shí)，重疊部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積的差，③1.5＜t＜2時(shí)，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個(gè)等腰直角三角形的面積分別列式整理即可得解．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�