(1)如圖,在△ABC中,D、E是BC邊上的兩點(diǎn),請你從下面三項(xiàng)中選出兩個(gè)作為條件,另一個(gè)作為結(jié)論,寫出真命題,并加以證明.
①AB=AC,②AD=AE,③BD=CE.
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(2)如圖,河流的兩岸PQ、MN互相平行,河岸MN上有一排間隔為50米的電線桿C、D、E、…,某人在河岸PQ的A處測得∠CAQ=30°,然后延河岸走了110米到達(dá)B處,測得∠DBQ=45°,求河流的寬度(結(jié)果可帶根號).
分析:(1)任意選擇其中兩個(gè)作為條件,另一個(gè)作為結(jié)論,都構(gòu)成真命題,可以通過證明△ABD≌△ACE證出結(jié)論;
(2)應(yīng)合理應(yīng)用∠CAQ的度數(shù),CD的長度,所以過點(diǎn)D作CA的平行線得到平行四邊形.過點(diǎn)D向?qū)呉咕,得到直角三角形,進(jìn)而利用三角函數(shù)值求得河寬.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)解法一:如果AB=AC,AD=AE,那么BD=CE.(1分)
證明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,
同理∠ADE=∠AED,
∴180°-∠ADE=180°-∠AED,即∠ADB=∠AEC.(2分)
在△ABD和△ACE中,
∠ADB=∠AEC
∠B=∠C
AB=AC

∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE;(3分)
解法二:如果AD=AE,BD=CE,那么AB=AC.(1分)
證明:∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,
∴180°-∠ADE=180°-∠AED,即∠ADB=∠AEC.(2分)
在△ABD和△ACE中,
AD=AE
∠ADB=∠AEC
BD=CE
,
∴△ABD≌△ACE,∴AB=AC;(3分)
解法三:如果BD=CE,AB=AC,那么AD=AE.(1分)
證明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.(2分)
在△ABD和△ACE中
BD=CE
∠B=∠C
AB=AC

∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE.(3分)
(此題還有其他的證明方法,不再一一列舉,酌情分步給分)

(2)過D作DH∥CA交PQ于H,過D作DG⊥PQ,垂足為G,(4分)
∵PQ∥MN,DH∥CA
∴四邊形CAHD是平行四邊形.
∴AH=CD=50,∠DHQ=∠CAQ=30°(5分)
在Rt△DBG中,∵∠DBG=∠BDG=45°,精英家教網(wǎng)
∴BG=DG,設(shè)BG=DG=x,
在Rt△DHG中,得HG=
3
x,(6分)
又BH=AB-AH=110-50=60,
∴60+x=
3
x,
∴x=30
3
+30(米).
河流的寬為(30
3
+30)米.(7分)
點(diǎn)評:本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.難點(diǎn)是作出輔助線,利用三角函數(shù)求解.
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16、如圖,在①AB=AC ②AD=AE ③∠B=∠C ④BD=CE四個(gè)條件中,能證明△ABD與△ACE全等的條件順序是( 。

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求證:∠B=∠C.

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