Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng)，已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG，設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（x＞0）．

（1）△EFG的邊長(zhǎng)是（用含有x的代數(shù)式表示），當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)G的位置在；
（2）若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探究（2）中得到的函數(shù)y在x取何值時(shí)，存在最大值？并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）x；D
（2）

解：①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，△EFG在梯形ABCD內(nèi)部，所以y= x2；

②分兩種情況：

Ⅰ．當(dāng)2＜x＜3時(shí)，如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F在線段BC上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，

∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．

∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x﹣6，

∴GM= （3x﹣6），

由勾股定理得：MN= （3x﹣6），

∴S△GMN= ×GM×MN= × （3x﹣6）× （3x﹣6）= （3x﹣6）2，

所以，此時(shí)y= x2﹣ （3x﹣6）2=﹣ ；

Ⅱ．當(dāng)3≤x≤6時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在射線CH上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，

∵EC=6﹣x，

∴y= （6﹣x）2= x2﹣ x+ ，

Ⅲ．當(dāng)x＞6時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)都在線段BC的延長(zhǎng)線上，沒(méi)公共部分，

∴y=0

（3）

解：當(dāng)0＜x≤2時(shí)，

∵y= x2，在x＞0時(shí)，y隨x增大而增大，

∴x=2時(shí)，y最大= ；

當(dāng)2＜x＜3時(shí)，∵y=﹣ 在x= 時(shí)，y最大= ；

當(dāng)3≤x≤6時(shí)，∵y= ，在x＜6時(shí)，y隨x增大而減小，

∴x=3時(shí)，y最大= ．

綜上所述：當(dāng)x= 時(shí)，y最大= ．

【解析】解：（1）∵點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng)，且F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，
∴BF=2BE=2x，
∴EF=BF﹣BE=2x﹣x=x，
∴△EFG的邊長(zhǎng)是x；
過(guò)D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，連接DE、DF．
在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC﹣AD=3，
∴DH=CHtan30°=3× 當(dāng)x=2時(shí)，BE=EF=2，
∵△EFG是等邊三角形，且DH⊥BC交點(diǎn)H，
∴EH=HF=1
∴DE=DF= =2，
∴△DEF是等邊三角形，
∴點(diǎn)G的位置在D點(diǎn)．
故答案為x，D點(diǎn)；

（1）根據(jù)等邊三角形的三邊相等，則△EFG的邊長(zhǎng)是點(diǎn)E移動(dòng)的距離；根據(jù)等邊三角形的三線合一和F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，即可分析出BF=4，此時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)是2，則點(diǎn)G和點(diǎn)D重合；（2）①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，重疊部分的面積即為等邊三角形的面積；②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，分兩種情況：當(dāng)2＜x＜3時(shí)和當(dāng)3≤x≤6時(shí)及x＞6，進(jìn)行計(jì)算；（3）分別求得（2）中每一種情況的最大值，再進(jìn)一步比較取其中的最大值即可．