Question

如圖，菱形ABCD中，AB=5，AC=8，動點P以每秒1個單位的速度沿邊DA從點D運動到點A，動點Q同時以每秒1個單位的速度沿邊AB從點A運動到點B．連接BP交AC于點E，連接QE．設(shè)動點P、Q的運動時間為t秒．
（1）求BD的長．
（2）當(dāng)t為何值時，QE∥AD？
（3）①在P、Q的運動過程中，請求出四邊形AQEP的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出t的取值范圍；②當(dāng)△AQE的外接圓經(jīng)過點P時，寫出此時S的值．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，由勾股定理先求出BO，再就可以求出BD的值了．
（2）由菱形的性質(zhì)及QE∥AD可以得出∠1=∠3，得出QE=AQ，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出其結(jié)論．
（3）①利用△APE∽△CBE將AE表示出來，過點E作EF⊥AB于F，再根據(jù)△AEF∽△ABO表示出EF，最后利用三角形的面積公式就可以表示出結(jié)論；②由條件可以知道AEPQ四點共圓，得出∠AQE=∠APE=90°，由勾股定理可以求出其值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC=

1

2

AC=4，BD=2BO，∠AOB=90°，∠1=∠2，
∴OA²+OB²=AB²，
∵AB=5，
∴16+OB²=25，解得，
OB=3，
∴BD=6
（2）∵QE∥AD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AQ=QE．
∵PD=t，AQ=t，
∴AP=5-t，QB=5-t，QE=t，
∵QE∥AD，
∴△BQE∽△BAP，
∴

QB

AB

=

QE

AP

，
∴

5-t

5

=

t

5-t

，解得，
t₁=

15 +5 5

2

（舍去），t₂=

15 -5 5

2

，
∴t=

15 -5 5

2

時，QE∥AD．
（3）①∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠2=∠ACB，∠PEA=∠CEB，
∴△APE∽△CBE，∴

AP

BC

=

AE

EC

，
∴

5-t

5

=

AE

8-AE

，
∴AE=

40-8t

10-t

．
過點E作EF⊥AB于F，
∴△AEF∽△ABO，
∴

AE

AB

=

EF

OB

，
∴

40-8t 10-t

5

=

EF

3

，
EF=

24-4.8t

10-t

S_{四邊形AQEP}=S_△ABE=

1

2

•EF•AB=

1

2

×5×

24-4.8t

10-t

=

60-12t

10-t

   
∴S=

60-12t

10-t

（0＜t≤5）
②S=

75

16

．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，三角形的面積及三角形的外接圓與外心．