(2009•株洲)如圖,已知△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)A、C在x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,m)(m>0),線段AB與y軸相交于點(diǎn)D,以P(1,0)為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)B、D.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)(用m表示);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn),連接PQ并延長交BC于點(diǎn)E,連接BQ并延長交AC于點(diǎn)F,試證明:FC(AC+EC)為定值.

【答案】分析:(1)AO=AC-OC=m-3,用線段的長度表示點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)∵△ABC是等腰直角三角形,∴△AOD也是等腰直角三角形,∴OD=OA,∴D(0,m-3),又P(1,0)為拋物線頂點(diǎn),可設(shè)頂點(diǎn)式,求解析式;
(3)設(shè)Q(x,x2-2x+1),過Q點(diǎn)分別作x軸,y軸的垂線,運(yùn)用相似比求出FC、EC的長,而AC=m,代入即可.
解答:(1)解:由B(3,m)可知OC=3,BC=m,又△ABC為等腰直角三角形,
∴AC=BC=m,OA=m-3,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3-m,0).

(2)解:∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,m-3).
又拋物線頂點(diǎn)為P(1,0),且過點(diǎn)B、D,
所以可設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-1)2
得:
解得
∴拋物線的解析式為y=x2-2x+1;

(3)證明:過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M,過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N,
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(x,x2-2x+1),
則QM=CN=(x-1)2,MC=QN=3-x.
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC

,得EC=2(x-1)
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC

,得
又∵AC=4
∴FC(AC+EC)=[4+2(x-1)]=(2x+2)=×2×(x+1)=8
即FC(AC+EC)為定值8.
點(diǎn)評:本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo),拋物線解析式的求法,綜合運(yùn)用相似三角形的比求線段的長度,本題也可以先求直線PE、BF的解析式,利用解析式求FC,EC的長.
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(1)線段OA1的長是
6
6
,∠AOB1的度數(shù)是
135
135
度;
(2)連接AA1,求證:四邊形OAA1B1是平行四邊形;
(3)四邊形OAA1B1的面積.

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(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn),連接PQ并延長交BC于點(diǎn)E,連接BQ并延長交AC于點(diǎn)F,試證明:FC(AC+EC)為定值.

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(1)求AB的長;
(2)當(dāng)AP為何值時(shí),矩形APQR的面積最大,并求出最大值.
為了解決這個(gè)問題,孔明和研究性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)作了如下討論:
張明:圖2中的拋物線過點(diǎn)(12,36)在圖1中表示什么呢?
李明:因?yàn)閽佄锞上的點(diǎn)(x,y)是表示圖1中AP的長與矩形APQR面積的對應(yīng)關(guān)系,那么,(12,36)表示當(dāng)AP=12時(shí),AP的長與矩形APQR面積的對應(yīng)關(guān)系.
趙明:對,我知道縱坐標(biāo)36是什么意思了!
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C.118°
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