Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AD=DC+AB，DE=DC，F(xiàn)為BC中點．
（1）證明：①∠CEB=90°，②；
（2）除幾何性質(zhì)①、②外，你還能發(fā)現(xiàn)哪些幾何性質(zhì)？請你選擇其中兩條進(jìn)行證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據(jù)AB∥CD，得∠ADC+∠BAD=180°，根據(jù)AD=DC+AB，DE=DC，得∠DCE=∠CED，AE=AB，則∠ABE=∠AEB，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，得∠AEB+∠CED=90°，從而證明∠CEB=90°；
②根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明EF=BC；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)：∠DFA=90°；S_△AFD=S_梯形ABCD等．
解答：（1）證明：①∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD=180°．
∵AD=DC+AB，DE=DC，
∴∠DCE=∠CED，AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEB=90°；
②∵∠CEB=90°，CF=BF，
∴EF=BC．

（2）解：其它主要結(jié)論還有：∠DFA=90°；S_△AFD=S_梯形ABCD等．
證明如下：延長DF、AB交于點G．
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠BGF．
又CF=BF，∠BFG=∠CFD，
∴△BFG≌△CFD，
∴BG=CD，DF=GF．
又AD=DC+AB，
∴AD=AG．
∴∠DFA=90°，S_△AFD=S_梯形ABCD．
點評：此題綜合運用了等腰三角形的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)．