Question

如圖，已知直角梯形COAB中，CB‖OA，以O(shè)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，A、B、C的坐標(biāo)分別為A（6，0）、B（3，4）、C（0，4），D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上沿A至 B的方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t秒．
（1）動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記△APD的面積為S，試寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量的取值范圍，并求出S的最大值；
（2）在動(dòng)點(diǎn)P從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得四邊形PBCD為等腰梯形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，過(guò)P作PE⊥OA于E，由D為OA中點(diǎn)可知AD=OD=BC=3，BD=CO=4，所以BC∥OD，BC=OD，再判斷出四邊形ODBC為矩形，在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再由Rt△APE∽R(shí)t△ABD可得出=，，進(jìn)而得出PE的長(zhǎng)，由三角形的面積即可得出結(jié)論；
（2）因?yàn)锽C∥AD，且BC=AD可得出四邊形ABCD為平行四邊形，由PB∥CD可知設(shè)在點(diǎn)P處四邊形PBCD為等腰梯形，則PD=AD=BC=3．過(guò)D作DF⊥AB于F，AF=PF，再由DF==即可求出DF的長(zhǎng)，再由勾股定理即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）連接BD，過(guò)P作PE⊥OA于E．
∵D為OA中點(diǎn)，
∴AD=OD=BC=3，BD=CO=4，
∴BC∥OD，BC=OD；
又∵∠DOC=90°，
∴四邊形ODBC為矩形，
∴BD⊥OA，AB=，
∵Rt△APE∽R(shí)t△ABD，
∴，
∴，
∴，（0≤t≤5）
∴當(dāng)t=5時(shí)，S_最大=6；

（2）存在．連接CD，由題意得：BC∥AD，且BC=AD
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴PB∥CD．        
設(shè)在點(diǎn)P處四邊形PBCD為等腰梯形，則PD=AD=BC=3．
過(guò)D作DF⊥AB于F，則AF=PF，
又∵，
∴（秒）
即此時(shí)t=3.6秒．．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形綜合題及勾股定理，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．