Question

如圖，點A，B，C，D是直徑為AB的⊙O上四個點，C是劣弧的中點，AC交BD于點E，AE=2，EC=1．
（1）求證：△DEC∽△ADC；
（2）試探究四邊形ABCD是否是梯形？若是，請你給予證明并求出它的面積；若不是，請說明理由．
（3）延長AB到H，使BH=OB．求證：CH是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）C是劣弧的中點，根據等弧所對的圓周角相等就可以證明角相等，從而證明△DEC∽△ADC；
（2）首先利用（1）的結論求出DC，再利用勾股定理計算AB，根據計算結果可以判定四邊形OBCD是菱形，然后判斷四邊形ABCD是梯形；
（3）利用（2）的結論OC⊥BD，OG=GC，再利用平行線的判定方法知道BG∥CH，這樣根據切線的判定方法就可以判定了．
解答：（1）證明：∵C是劣弧的中點，
∴∠DAC=∠CDB．（1分）
∵∠ACD=∠ACD，
∴△DEC∽△ADC．（3分）

（2）解：連接OD，
∵，
∵CE=1，AC=AE+EC=2+1=3，
∴DC²=AC•EC=3×1=3．
∴DC=．（4分）
∵BC=DC=，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴AB²=AC²+CB²=3²+（）²=12．
∴AB=．
∴OD=OB=BC=DC=．
∴四邊形OBCD是菱形．
∴DC∥AB，DC＜AB．
∴四邊形ABCD是梯形．（5分）
法一：
過C作CF垂直AB于F，連接OC，則OB=BC=OC=，
∴∠OBC=60°．（6分）
∴sin60°=，
CF=BC•sin60°=．
∴S_梯形ABCD=CF（AB+DC）=．（7分）
法二：（接上證得四邊形ABCD是梯形）
∵DC∥AB，
∴AD=BC．
連接OC，則△AOD，△DOC和△OBC的邊長均為的等邊三角形．（6分）
∴△AOD≌△DOC≌△OBC．
∴S_梯形ABCD=3•S_△AOD=．（7分）

（3）證明：連接OC交BD于G．
由（2）得四邊形OBCD是菱形．
∴OC⊥BD且OG=GC．（8分）
∵OB=BH，
∴BG∥CH．（9分）
∴∠OCH=∠OGB=90°．
∴CH是⊙O的切線．（10分）
點評：此題綜合性比較強，把梯形放在圓中，解題利用了梯形的判定和面積公式，解直角三角形，圓的切線的判定等幾個知識點．