Question

如圖①，已知線段AB=8，以AB為直徑作半圓O，再以O(shè)A為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A，O不重合），AP的延長(zhǎng)線交半圓O于點(diǎn)D。

（1）判斷線段AP與PD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）連接PC，當(dāng)∠ACP=60⁰時(shí)，求弧AD的長(zhǎng)；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E（如圖②），設(shè)AP=x，OE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

（1）AP=PD,理由見(jiàn)解析; （2） ;（3）.

解析試題分析：（1）AP=PD．理由如下：如圖①，連接OP．利用圓周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性質(zhì)證得AP=PD;
（2）由三角形中位線的定義證得CP是△AOD的中位線，則PC∥DO，所以根據(jù)平行線的性質(zhì)易求弧AD所對(duì)的圓心角∠AOD=60°，從而求出弧AD的長(zhǎng);
（3）分類(lèi)討論：點(diǎn)E落在線段OA和線段OB上，這兩種情況下的y與x的關(guān)系式．這兩種情況都是根據(jù)相似三角形（△APO∽△AED）的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
試題解析：（1）AP="PD." 理由如下：
如圖①，連接OP，OD，
∵OA是半圓C的直徑，∴∠APO=90°，即OP⊥AD.
又∵OA=OD，∴AP=PD.
（2）如圖①，連接PC、OD.由（1）知，AP=PD.
又∵AC=OC，∴PC∥OD. ∴∠AOD=∠ACP=60°.
∵AB=8，∴OA=4.∴弧AD的長(zhǎng)=.

（3）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)E落在OA上（即0＜x≤時(shí)），如圖②，連接OP，則∠APO=∠AED．
又∵∠A=∠A，∴△APO∽△AED.∴.
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4﹣y，∴.∴（0＜x≤）.
②當(dāng)點(diǎn)E落在線段OB上（即＜x＜4）時(shí)，如圖③，
連接OP，同①可得，△APO∽△AED.∴.
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，∴.∴（＜x＜4）.
綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為.

考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題;2.圓周角定理;3.等腰三角形的性質(zhì);4.三角形中位線定理;5.平行線的性質(zhì);6.弧長(zhǎng)的計(jì)算;7.由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式;8.相似三角形的判定和性質(zhì);9.分類(lèi)思想的應(yīng)用.