Question

【題目】數學課上，同學們探究下面命題的正確性，頂角為36°的等腰三角形我們稱之為黃金三角形，“黃金三角形“具有一種特性，即經過它某一頂點的一條直線可以把它分成兩個小等腰三角形，為此，請你，解答問題：

（1）已知如圖1：黃金三角形△ABC中，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點D，求證：△ABD和△DBC都是等腰三角形；

（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，請你設計三種不同的方法，將△ABC分割成三個等腰三角形，不要求寫出畫法，不要求證明，但是要標出所分得的每個三角形的各內角的度數．

（3）已知一個三角形可以被分成兩個等腰三角形，若原三角形的一個內角為36°，求原三角形的最大內角的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）最大角的可能值為72°，90°，108°，126°，132°

【解析】

（1）通過角度轉換得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判斷；

（2）根據等腰三角形的兩底角相等及三角形內角和定理進行解答即可；

（3）設原△ABD中有一個角為36°，可分成兩個等腰三角形，逐個討論：①當分割的直線過頂點B時②當分割三角形的直線過點D時情況和過點B一樣的，③當分割三角形的直線過點A時，在分別求出最大角的度數即可.

解：（1）證明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，

∴∠ABD=∠BAD，

∴△ABD為等腰三角形，

∴∠BDC=72°=∠C，

∴△BCD為等腰三角形；

（2）根據等腰三角形的兩底角相等及三角形內角和定理作出，如圖所示：

（3）設原△ABD中有一個角為36°，可分成兩個等腰三角形，逐個討論：

①當分割的直線過頂點B時，

【1】：第一個等腰三角形ABC以A為頂點:則第二個等腰三角形BCD只可能以C為頂點

此時∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值為108°；

【2】：第一個等腰三角形ABC以B為頂點：第二個等腰三角形BCD只可能以C為頂點

此時：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值為126°；

【3】第一個等腰三角形ABC以C為頂點：第二個等腰三角形BCD有三種情況

△BCD以B為頂點：∠A=36°，∠D=72°，

∴∠ABD=72°，最大角的值為72°；

△BCD以C為頂點：∠A=36°，∠D=54°，

∴∠ABD=90°，最大角的值為90°；

△BCD以D為頂點：∠A=36°，∠D=36°

∴∠ABD=108°，最大角的值為108°；

②當分割三角形的直線過點D時情況和過點B一樣的；

③當分割三角形的直線過點A時，

此時∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，

最大角的值為132°；

綜上所述：最大角的可能值為72°，90°，108°，126°，132°.