Question

問題背景：某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：

①如圖1，在正三角形ABC中，M，N分別是AC，AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=60°，則BM=CN；
②如圖2，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=90°，則BM=CN．
然后運用類比的思想提出了如下命題；
③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，則BM=CN．任務(wù)要求：
（1）請你從①，②，③三個命題中選擇一個進行證明；
（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：
①如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，試問當∠BON等于多少度時，結(jié)論BM=CN成立；（不要求證明）
②如圖5，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，AE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°時，試問結(jié)論BM=CN是否還成立．若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）正三角形ABC中，可通過全等三角形來證明BM=CN，由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°，而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°，因此∠ACN=∠MBC，又知道∠A=∠BCM=60°，AC=BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM=CN；正方形和正五邊形的證明過程與正三角形的一樣，都是通過全等三角形來得出線段的相等，證三角形的過程中都是根據(jù)∠BON和多邊形的內(nèi)角相等得出一組兩三角形中的一組對應(yīng)角相等，然后根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和邊相等，得出BCM和CND全等，進而得出BM=CN；（2）①由（1）的證明過程可知道∠MON的度數(shù)應(yīng)該是正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，當∠BON=時，結(jié)論BM=CN成立，
②可參照（1）先得出三角形BCD和CDE全等，然后通過證三角形CEN和BDM全等來得出結(jié)論，在證三角形CEN和BDM全等的過程中也是通過∠BON與正五邊形的內(nèi)角相等得出一組對應(yīng)角相等，然后根據(jù)正五邊形的內(nèi)角減去第一對全等三角形中得出的相等角來得出另一組對應(yīng)角相等，可通過△BCD≌△CDE得出CE=BD，那么可得出三角形CEN和BDM全等，由此可得證．
解答：
解：（1）選命題①
在圖1中，∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°．
∵∠BON=60°，
∴∠CBM+∠BCN=60°．
∵∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠CBM=∠ACN．
∴△BCM≌△CAN（ASA）．
∴BM=CN．

選命題②
在圖2中∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°．
∵∠BON=90°，
∴∠CBM+∠BCN=90°．
∵∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

選命題③
在圖3中，∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．
∵∠BON=108°，
∴∠CBM+∠BCN=108°．
∵∠BCN+∠DCN=108°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

（2）①當∠BON=時，結(jié)論BM=CN成立．
②BM=CN成立．
在圖5中，連接BD、CE，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∠CDE=∠DEA=108°．
∴∠BCD=∠DEA，
∴△BCD≌△CDE（SAS）．
∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．
∵∠BON=108°，
∴∠OBC+∠OCB=108°．
∵∠OCB+∠OCD=108°，
∴∠OBC=∠OCD（即∠MBC=∠NCD）．
∴∠MBC-∠DBC=∠NCD-∠ECD，即∠DBM=∠ECN．
∴∠CDE-∠BDC=∠DEA-∠CED，即∠BDM=∠CEN．
∴△BDM≌△CEN（ASA）．
∴BM=CN．
點評：本題主要考查了全等三角形，正多邊形等幾何知識，是一道幾何型探究題，層層深入，體現(xiàn)了一個由特殊到一般的過程，考查學生的邏輯思維能力及歸納探索諸多方面的能力，是一道很好的壓軸題．本題是一道非常典型的幾何探究題，很好地體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學思想方法，引導學生漸漸地從易走到難，是新課標形勢下的成熟壓軸題．