Question

如圖1，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．

（1）將圖1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至圖②的位置，使得點O與點N重合，CD與MN相交于點E，求∠CEN的度數(shù)；
（2）將圖1中的三角尺OCD繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使一邊OD在∠MON的內(nèi)部，如圖3，且OD恰好平分∠MON，CD與MN相交于點E，求∠CEN的度數(shù)；
（3）將圖1中的三角尺OCD繞點O按每秒15°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第

5或17

秒時，邊CD恰好與邊MN平行；在第

11或23

秒時，直線CD恰好與直線MN垂直．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO，代入數(shù)據(jù)計算即可得解；
（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠DON=45°，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行求出CD∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求解即可；
（3）①分CD在AB上方時，CD∥MN，設(shè)OM與CD相交于F，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠OFD=∠M=60°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠MOD，即可得解；CD在AB的下方時，CD∥MN，設(shè)直線OM與CD相交于F，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DFO=∠M=60°，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠DOF，再求出旋轉(zhuǎn)角即可；②分CD在OM的右邊時，設(shè)CD與AB相交于G，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠CGN，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CON，再求出旋轉(zhuǎn)角即可，CD在OM的左邊時，設(shè)CD與AB相交于G，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠NGD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出∠AOC，然后求出旋轉(zhuǎn)角，計算即可得解．

解答：解：（1）在△CEN中，
∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO
=180°-45°-30°
=105°；

（2）∵OD平分∠MON，
∴∠DON=

1

2

∠MPN=

1

2

×90°=45°，
∴∠DON=∠D=45°，
∴CD∥AB，
∴∠CEN=180°-∠MNO=180°-30°=150°；

（3）如圖1，CD在AB上方時，設(shè)OM與CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠OFD=∠M=60°，
在△ODF中，∠MOD=180°-∠D-∠OFD，
=180°-45°-60°，
=75°，
∴旋轉(zhuǎn)角為75°，
t=75°÷15°=5秒；
CD在AB的下方時，設(shè)直線OM與CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO=∠M=60°，
在△DOF中，∠DOF=180°-∠D-∠DFO=180°-45°-60°=75°，
∴旋轉(zhuǎn)角為75°+180°=255°，
t=255°÷15°=17秒；
綜上所述，第5或17秒時，邊CD恰好與邊MN平行；
如圖2，CD在OM的右邊時，設(shè)CD與AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°-∠MNO=90°-30°=60°，
∴∠CON=∠NGC-∠OCD=60°-45°=15°，
∴旋轉(zhuǎn)角為180°-∠CON=180°-15°=165°，
t=165°÷15°=11秒，
CD在OM的左邊時，設(shè)CD與AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°-∠MNO=90°-30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD-∠C=60°-45°=15°，
∴旋轉(zhuǎn)角為360°-∠AOC=360°-15°=345°，
t=345°÷15°=23秒，
綜上所述，第11或23秒時，直線CD恰好與直線MN垂直．
故答案為：5或17；11或23．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并熟悉三角板的度數(shù)特點是解題的關(guān)鍵．