Question

（2005•遂寧）如圖，CA和CB都是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，連接OC交弦AB于點(diǎn)D已知⊙O的半徑為4，弦AB=
（1）求證：OC垂直平分AB；
（2）求劣弧的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知CA=CB，∠ACO=∠BCO，結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知OC垂直平分AB；
（2）根據(jù)垂徑定理可知BD的長(zhǎng)度，利用三角函數(shù)sin∠BOD=，可求∠BOD=60°即∠AOB=120°，再利用弧長(zhǎng)公式求解即可．
解答：（1）證明：∵CA、CB是圓O的切線，
∴CA=CB，∠ACO=∠BCO．
∴OC垂直平分AB．

（2）解：連接OA、OB；
由（1）知，OD⊥AB，AB=4；
∴BD=2；
在Rt△OBD中，sin∠BOD=，
∴∠BOD=60°；
∴∠AOB=120°；
∴劣弧的長(zhǎng)==π．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)在圓中的運(yùn)用．本題要掌握的知識(shí)點(diǎn)是切線長(zhǎng)定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)．