Question

如圖，∠BAC=∠ABC=45°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE與AB相交于F．FE=1，BE=2．下列結論：①△CBE≌△ACD，②AD=6，③AF=BC，④BC=．其中正確的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③

Answer 1

【答案】分析：由AAS可證明△CBE≌△ACD，從而可判定①正確；
先證明△DFA∽△EFB，得出AD=2DF，又由①知AD=CE，設DF=x，則2x=x+3，解方程即可判定②正確；
如果AF=BC成立，那么由BC=AC，則AF=AC成立，∠ACF=∠AFC成立，根據等角的余角相等，得∠BCE=∠DAF成立，而∠BCE=∠CAD，即需∠CAD=∠DAF，但是已知條件沒有交代，從而可判定③錯誤；
在直角△ACD中，由CD=2，AD=6，根據勾股定理即可判定④正確．
解答：解：∵∠BAC=∠ABC=45°，
∴CB=AC，∠ACB=90°．
在△CBE與△ACD中，
，
∴△CBE≌△ACD，
故①正確；

∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，
∴BE∥AD，
∴△DFA∽△EFB，
∴DF：EF=AD：BE，
∵FE=1，BE=2，
∴DF：1=AD：2，
∴AD=2DF．
設DF=x，則AD=2x．
又由①知△CBE≌△ACD，
∴AD=CE，BE=CD=2，
∴2x=x+3，
∴x=3，
∴AD=2x=6，
故②正確；

假設AF=BC成立．
∵BC=AC，
∴AF=AC，
∴∠ACF=∠AFC，
∴∠BCE=∠DAF，
∵∠BCE=∠CAD，
∴∠CAD=∠DAF，
這與已知條件不符，
故③錯誤；

在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，CD=2，AD=6，
∴AC==2，
故④正確．
故選C．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質，綜合性較強，難度中等．②中根據相似三角形的判定證明△DFA∽△EFB，并且根據其性質得出AD=2DF是解題的關鍵．