Question

【題目】如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形點(diǎn)分別在軸和軸的正半軸上，連結(jié)，，，是的中點(diǎn).

(1)求OC的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2，是線段上的點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線交軸的正半軸于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)

①將沿所在的直線翻折，若點(diǎn)恰好落在上，求此時(shí)的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

②以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1) OC=，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2) ①點(diǎn)的坐標(biāo)為，②.

【解析】

（1）由OA=3，tan∠OAC=，得OC= ，由四邊形OABC是矩形，得BC=OA=3，所以CD= BC= ，求得D（）；
（2）①由易知得ACB=∠OAC=30°，設(shè)將△DBF沿DE所在的直線翻折后，點(diǎn)B恰好落在AC上的B'處，則DB'=DB=DC，∠BDF=∠B'DF，所以∠BDB'=60°，∠BDF=∠B'DF=30°，所以BF=BDtan30°=，AF=BF=，因?yàn)椤?/span>BFD=∠AEF，所以∠B=∠FAE=90°，因此△BFD≌△AFE，AE=BD=，點(diǎn)E的坐標(biāo)（ ，0）；
②動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，求得此時(shí)拋物線解析式為y=，因此E（，0），直線DE： ，F1（3，）；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，求得此時(shí)拋物線解析式為，所以E（6，0），直線DE：

，所以F2（3，）；所以點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為，即G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為 ．

(1) ∵，

∴.

∵四邊形是矩形，

∴.

∵是的中點(diǎn)，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(2) ①∵，

∴，

∴.

設(shè)將翻折后，點(diǎn)落在上的處，

則，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴，

∵，

∴.

∴.

∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

②動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，
∵拋物線過點(diǎn)P（0，0）、

求得此時(shí)拋物線解析式為y=

∴E（，0），
∴直線DE： ，
∴F1（3，）；
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，
∵拋物線過點(diǎn)

求得此時(shí)拋物線解析式為，
∴E（6，0），
∴直線DE：y=-

∴F2（3，）

∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為，
∵△DFG為等邊三角形，
∴G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為