Question

如圖：已知在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（a，b）點(diǎn)B（a，0），且滿足|2a-b|+（a-4）²=0．
（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）已知點(diǎn)C（0，b），點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個單位每秒的速度移動．同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿y軸負(fù)方向以2個單位每秒的速度移動，某一時(shí)刻，如圖所示且S_陰=S_{四邊形OCAB}，求點(diǎn)P移動的時(shí)間？
（3）在（2）的條件下，AQ交x軸于M，作∠ACO，∠AMB的角平分線交于點(diǎn)N，判斷是否為定值，若是定值求其值；若不是定值，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵|2a-b|+（b-4）²=0．
∴2a-b=0，b-4=0，
∴a=2，b=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）、點(diǎn)B的坐標(biāo)（2，0）；

（2）如圖2，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為ts，則t＞2，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2-t，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4-2t），
設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+4-2t，
把A（2，4）代入得2k+4-2t=4，解得k=t-1，
∴直線AQ的解析式為y=（t-1）x+4-2t，
直線AQ與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
∴S_陰影=（+t-2）×4+××（2t-4），
而S_陰=S_{四邊形OCAB}，
∴（+t-2）×4+××（2t-4）=×2×4，
整理得2t²-7t+4=0，
解得t₁=，t₂=（舍去），
∴點(diǎn)P移動的時(shí)間為s；

（3）為定值．理由如下：
如圖3，∵∠ACO，∠AMB的角平分線交于點(diǎn)N，
∴∠ACN=45°，∠1=∠2，
∵AC∥BP，
∴∠CAM=∠AMB=2∠1，
∵∠ACN+∠CAM=∠N+∠1，
∴45°+2∠1=∠N+∠1，
∴∠N=45°+∠1，
∵∠AMB=∠APB+∠PAQ，
∴∠APB+∠PAQ=2∠1，
∵∠AQC+∠OMQ=90°，
而∠OMQ=2∠1，
∴∠AQC=90°-2∠1，
∴==．
分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)易得a=2，b=4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）、點(diǎn)B的坐標(biāo)（2，0）；
（2）設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為ts，則t＞2，則P點(diǎn)坐標(biāo)可表示為（2-t，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)表示為（0，4-2t），用待定系數(shù)法確定直線AQ的解析式為y=（t-1）x+4-2t，則可確定直線AQ與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），根據(jù)題意得（+t-2）×4+××（2t-4）=×2×4，然后解方程求出t的值；
（3）先根據(jù)角平分線定義得∠ACN=45°，∠1=∠2，再由AC∥BP得∠CAM=∠AMB=2∠1，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ACN+∠CAM=∠N+∠1，所以∠N=45°+∠1，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠AMB=∠APB+∠PAQ，即∠APB+∠PAQ=2∠1，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠AQC+∠OMQ=90°，利用∠OMQ=2∠1可得∠AQC=90°-2∠1，最后用∠1表示式子中的角，約分即可得到=．
點(diǎn)評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了三角形外角性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及三角形面積公式．