Question

【題目】已知，點、，將線段繞著原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度到，連接，將繞著點順時針方向旋轉(zhuǎn)角度至，連接.

（1）當(dāng)，時，求的長.

（2）當(dāng)，時，求的長.

（3）已知，當(dāng)時，改變的大小，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）.

【解析】

（1）將AO繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°至AN，連接AN，DN.通過SAS證明△AOC≌△AND，再證明∠OND=90°后利用勾股定理即可求解；

（2）將AO繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)120°至AN，連接AN，DN.通過SAS證明△AOC≌△AND，再證明∠OND=90°后利用勾股定理即可求解；

（3）將AO繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AN，可得點N為（8，8），利用兩點距離公式求出NE的長，然后根據(jù)D在線段NE上時，DE最小為；D在線段NE的延長線上時DE最大為，從而求出DE的最大值.

解：（1）如圖1，將AO繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°至AN，連接AN，DN.

則△OAN是等邊三角形.

∴ON=OA=AN=8.

∴∠OAN＝∠ONA=∠CAD=60°.

∴∠OAN-∠NAC＝∠CAD-∠NAC，即∠OAC＝∠NAD.

在△AOC和△AND中

，

∴△AOC≌△AND（SAS）

∴OC=ND，∠AND＝∠AOC=30°.

又∵OB=6，

∴OC=ND=6.

∴∠OND＝∠ONA+∠AND=90°.

∴；

（2）如圖2，將AO繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)120°至AN，連接AN，DN，

∴△OAN是等腰三角形，

∵∠OAN=120°，

∴，∠AON＝∠ANO=30°.

∵∠OAN＝∠CAD=120°.

∴∠OAN-∠NAC＝∠CAD-∠NAC，即∠OAC＝∠NAD.

在△AOC和△AND中

，

∴△AOC≌△AND（SAS），

∴OC=ND，∠AND=∠AOC=60°.

∴∠OND=∠AND+∠ANO=90°，

又∵OB=6，

∴OC=OB=ND=6.

∴；

（3）如圖3，將AO繞O順時針旋轉(zhuǎn)90°到AN，連接AN、DN、EN.

則N為（8，8），

則.

則（1）可得：△AOC≌△AND.

∴ND=OC=OB=6.

當(dāng)D在線段NE上時，DE最小為；

當(dāng)D在線段NE的延長線上時，DE最大為.

即DE的最大值為.