Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)．將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如圖②）．

（1）探究DB′與EC′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（2）當(dāng)DB′∥AE時(shí)，求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；

（3）如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)AC′與DE所在直線交于點(diǎn)P，當(dāng)△ADP成為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）DB′=EC′；（2）60°；（3）

【解析】

（1）根據(jù)SAS推出△B′AD≌△C′AE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．
（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠B′DA=∠DAE=90°，求出∠EC′A=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
（3）分為兩種情況，第一、P在DE上時(shí)，AP=AD，AP=DP，DP=AD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可，第二、P在ED的延長線時(shí)，AP=DP，求出∠PAD即可．

（1）DB′=EC′，
證明：如圖②，
∵AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴AD=AE，
∵∠B′AC′=∠DAE=90°，
∴∠B′AD=∠C′AE=90°-∠DAC′，
在△B′AD和△C′AE中，
，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′．
（2）解：∵DB′∥AE，
∴∠ADB′=∠EAD=90°
又∵△B′AD≌△C′AE，
∴∠AEC′=∠ADB′，
∴∠AEC′=90°，
即△AEC′為直角三角形，
又∵AE=AC=AC′，
∴∠EC′A=30°，

∴α=90°-30°=60°；
（3）解：分為兩種情況：
第一種情況：當(dāng)P在DE上，①當(dāng)AP=DP時(shí)，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠ADP=45°，
∴α=90°-45°=45°；
②當(dāng)AD=AP時(shí)，此時(shí)P和E重合，即α=0°；
③當(dāng)AD=DP時(shí)，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠DPA=（180°-∠ADP）=×（180°-45°）=67.5°，
∴α=90°-67.5°=22.5°；
第二種情況：當(dāng)P點(diǎn)在ED延長線時(shí)，∵∠ADP=180°-45°=135°，
∴此時(shí)只能AD=AP，
∴∠APD=∠PAD=∠ADE=22.5°，
∴α=90°+22.5°=112.5°．