Question

問題情境：如圖①，在△ABD與△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易證：△ABD≌△CAE．（不需要證明）
特例探究：如圖②，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，且BD=AE，AD與CE交于點F．求證：△ABD≌△CAE．
歸納證明：如圖③，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊CB、BA的延長線上，且BD=AE．△ABD與△CAE是否全等？如果全等，請證明；如果不全等，請說明理由．
拓展應用：如圖④，在等腰三角形中，AB=AC，點O是AB邊的垂直平分線與AC的交點，點D、E分別在OB、BA的延長線上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度數(shù)．

Answer 1

特例探究：
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，
在△ABD與△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；

解：歸納證明：△ABD與△CAE全等．理由如下：
∵在等邊△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠DBA=∠EAC=120°．
在△ABD與△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；

拓展應用：∵點O在AB的垂直平分線上，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=50°，
∴∠EAC=∠DBC．
在△ABD與△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠BDA=∠AEC=32°，
∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°．
分析：特例探究：利用等邊三角形的三條邊都相等、三個內角都是60°的性質推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后結合已知條件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS證得△ABD≌△CAE．
歸納證明：△ABD與△CAE全等．利用等邊三角形的三條邊都相等、三個內角都是60°的性質以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后結合已知條件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS證得△ABD≌△CAE；
拓展應用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的對應角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度數(shù)．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，線段垂直平分線的性質等知識點．在證明兩個三角形全等時，一定要找準對應角和對應邊．