(2010•婁底)如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2,DC=10,AD=BC=5,點(diǎn)M、N分別在AD、BC上運(yùn)動(dòng),并保持MN∥AB,ME⊥DC,NF⊥DC,垂足分別為E、F.
(1)求梯形ABCD的面積;
(2)探究一:四邊形MNFE的面積有無最大值?若有,請(qǐng)求出這個(gè)最大值;若無,請(qǐng)說明理由;
(3)探究二:四邊形MNFE能否為正方形?若能,請(qǐng)求出正方形的面積;若不能,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)要求梯形ABCD的面積,需先求梯形的高,可作高根據(jù)勾股定理易求得;
(2)嘗試把四邊形MNFE的面積用二次函數(shù)的形式表達(dá)出來,再由二次函數(shù)的最值問題討論;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,使MN=ME,求解即可.
解答:解:(1)如圖,
過點(diǎn)A作AG⊥CD于G,過B作BQ⊥DC于Q,
則AG∥BQ,
∵AB∥DC,
∴四邊形AGQB是平行四邊形,
∴AB=GQ=2,AG=BQ,
由勾股定理得:DG=,CQ=,
∵AD=BC,AG=BQ,
∴DG=CQ=(10-2)÷2=4,
在Rt△ADG中,AG==3,
∴S梯形ABCD=(2+10)×3÷2=18;

(2)設(shè)MN=x,AG與MN交于點(diǎn)O,
∵M(jìn)N∥CD,
∴△AMO∽△ADG,
∴MO:DG=AO:AG,
=AO:3,
∴AO=,
∴OG=3-=,
∴S矩形MNFE=x•=x-x2
∵二次項(xiàng)系數(shù)小于0,
∴當(dāng)x=5時(shí),四邊形MNFE的面積有最大值:[4×(-)×0-(2]÷[4×(-)]=;

(3)當(dāng)MN=ME時(shí),四邊形MNFE能為正方形.
由(2)可得,ME=OG=,
則==x,
解得x=
此時(shí),正方形MNFE的面積為:(2=
點(diǎn)評(píng):此題考查了梯形的面積、二次函數(shù)的最值、正方形的判定等知識(shí)點(diǎn),綜合性很強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《三角形》(12)(解析版) 題型:解答題

(2010•婁底)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E為CD的中點(diǎn),連接AE、BE,BE⊥AE,延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
求證:(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

(2010•婁底)如圖,直線AB、CD相交于點(diǎn)O.OE平分∠AOD,若∠BOD=100°,則∠AOE=    度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

(2010•婁底)如圖所示,圖中三角形的個(gè)數(shù)共有( )

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年湖南省婁底市冷水江市中考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:填空題

(2010•婁底)如圖,直線AB、CD相交于點(diǎn)O.OE平分∠AOD,若∠BOD=100°,則∠AOE=    度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年廣西柳州市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

(2010•婁底)如圖所示,圖中三角形的個(gè)數(shù)共有( )

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案