【題目】如圖1,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),它們的速度均為2cm /s,連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(單位:s)(0≤t≤4).解答下列問題:

(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ∥BC.

(2)是否存在某時(shí)刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分?若存在求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

(3)如圖2,把△APQ沿AP翻折,得到四邊形AQPQ′.那么是否存在某時(shí)刻t使四邊形AQPQ′為菱形?若存在,求出此時(shí)菱形的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)當(dāng)s時(shí),PQ∥BC.(2)不存在某時(shí)刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分.(3)存在時(shí)刻t,使四邊形AQPQ′為菱形,此時(shí)菱形的面積為cm2

【解析】(1)證△APQ∽△ABC,推出=,代入得出=,求出方程的解即可;(2)假設(shè)存在某時(shí)刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分,得出方程-t2+6t=××8×6,求出此方程無解,即可得出答案.

(3)首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及相似三角形比例線段關(guān)系,求得PQ、OD、和PD的長度;然后在Rt△PQD中,根據(jù)勾股定理列出方程(8-t)2-(6-t)2=(2t)2,求得時(shí)間t的值;最后根據(jù)菱形的面積等于△AQP的面積的2倍,進(jìn)行計(jì)算即可.

解:(1)BP=2t,則AP=10﹣2t.

∵PQ∥BC,

∴△APQ∽△ABC,

=

=,

解得:t=,

∴當(dāng)t=時(shí),PQ∥BC.

(2)如答圖1所示,過P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D.

∴PD∥BC,∴,即,解得

,

假設(shè)存在某時(shí)刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分,

則有S△AQP= S△ABC,而S△ABC=ACBC=24,∴此時(shí)S△AQP=12.

S△AQP

,化簡得:t2﹣5t+10=0,

∵△=(﹣5)2﹣4×1×10=﹣15<0,此方程無解,

∴不存在某時(shí)刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分.

(3)假設(shè)存在時(shí)刻t,使四邊形AQPQ′為菱形,則有AQ=PQ=BP=2t.

如答圖2所示,過P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D,則有PD∥BC,

,即,

解得: , ,

∴QD=AD﹣AQ=

在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,

,

化簡得:13t2﹣90t+125=0,

解得:t1=5,t2=

∵t=5s時(shí),AQ=10cm>AC,不符合題意,舍去,∴t=

由(2)可知,S△AQP=

∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×=cm2

所以存在時(shí)刻t,使四邊形AQPQ′為菱形,此時(shí)菱形的面積為cm2

“點(diǎn)睛”本題考查了三角形的面積,勾股定理的逆定理,相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形以及直角三角形,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例以及勾股定理進(jìn)行列式求解.

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