Question

（2005•云南）已知，如圖，在直角坐標(biāo)系中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形AOCB是矩形，0C=6，OA=2，P是邊AB上的任意一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上移動時，是否存在這樣的點(diǎn)P使得OP⊥PC成立？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，畫出滿足條件的P點(diǎn)，并求出經(jīng)過D、P、C三點(diǎn)的拋物線的對稱軸；若不存在這樣的P點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題要懂得數(shù)形結(jié)合．當(dāng)點(diǎn)P位于A、B點(diǎn)時，結(jié)論不成立．但當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上且與A、B點(diǎn)不重合時，連接OP、PC，若有OP⊥PC，則應(yīng)有△AOP∽△BPC，再求出PA，然后求出OP⊥PC的P點(diǎn)坐標(biāo)，最后證明拋物線是軸對稱圖形求出對稱軸．
解答：解：在邊AB上存在這樣的點(diǎn)P使得OP⊥PC成立．
顯然當(dāng)點(diǎn)P位于A、B點(diǎn)時，結(jié)論不成立．
當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上且與A、B點(diǎn)不重合時，連接OP、PC，
若有OP⊥PC，
則應(yīng)有△AOP∽△BPC，PA=3±
當(dāng)P點(diǎn)分別位于P₁（3-，2）和P₂（3+，2）時，OP⊥PC成立．
以O(shè)C的中點(diǎn)M為圓心，半徑長為3畫圓與AB交于P₁、P₂點(diǎn)．
則點(diǎn)P_l、P₂即為所要畫的點(diǎn)已知拋物線的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)C（6，O）
∵拋物線是軸對稱圖形
∴拋物線的對稱軸是x=3．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)在于考生要懂得數(shù)形結(jié)合分析問題以及理解拋物線的性質(zhì)，難度中等．