【題目】已知,如圖拋物線y=ax2+3ax+c(a>0)與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點,點A在點B左側(cè).點B的坐標為(1,0),OC=3OB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點,求四邊形ABCD面積的最大值;
(3)若點E在x軸上,點P在拋物線上.是否存在以A,C,E,P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形?若存在,寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵B的坐標為(1,0),
∴OB=1.
∵OC=3OB=3,點C在x軸下方,
∴C(0,﹣3).
∵將B(1,0),C(0,﹣3)代入拋物線的解析式得: ,解得:a= ,C=﹣3,
∴拋物線的解析式為y= x2+ x﹣3
(2)
解:如圖1所示:過點D作DE∥y,交AC于點E.
∵x=﹣ = =﹣ ,B(1,0),
∴A(﹣4,0).
∴AB=5.
∴S△ABC= ABOC= ×5×3=7.5.
設AC的解析式為y=kx+b.
∵將A(﹣4,0)、C(0,﹣3)代入得: ,解得:k=﹣ ,b=﹣3,
∴直線AC的解析式為y=﹣ x﹣3.
設D(a, a2+ a﹣3),則E(a,﹣ a﹣3).
∵DE=﹣ a﹣3﹣( a2+ a﹣3)=﹣ (a+2)2+3,
∴當a=﹣2時,DE有最大值,最大值為3.
∴△ADC的最大面積= DEAO= ×3×4=6.
∴四邊形ABCD的面積的最大值為12
(3)
解:存在.
①如圖2,過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1,過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1,此時四邊形ACP1E1為平行四邊形.
∵C(0,﹣3),令 x2+ x﹣3=﹣3,
∴x1=0,x2=﹣3.
∴P1(﹣3,﹣3).
②平移直線AC交x軸于點E2,E3,交x軸上方的拋物線于點P2,P3,當AC=P2E2時,四邊形ACE2P2為平行四邊形,當AC=P3E3時,四邊形ACE3P3為平行四邊形.
∵C(0,﹣3),
∴P2,P3的縱坐標均為3.
令y=3得: x2+ x﹣3=3,解得;x1= ,x2= .
∴P2( ,3),P3( ,3).
綜上所述,存在3個點符合題意,坐標分別是:P1(﹣3,﹣3),P2( ,3),P3( ,3)
【解析】(1)根據(jù)OC=3OB,B(1,0),求出C點坐標(0,﹣3),把點B,C的坐標代入y=ax2+2ax+c,求出a點坐標即可求出函數(shù)解析式;(2)過點D作DE∥y軸分別交線段AC于點E.設D(m,m2+2m﹣3),然后求出DE的表達式,把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD , 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值;(3)①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1 , 過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1 , 此時四邊形ACP1E1為平行四邊形.②平移直線AC交x軸于點E,交x軸上方的拋物線于點P2 , P3 , 由題意可知點P2、P3的縱坐標為3,從而可求得其橫坐標.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解某種電動汽車的性能,對這種電動汽車進行了抽檢,將一次充電后行駛的里程數(shù)分為A,B,C,D四個等級,其中相應等級的里程依次為200千米,210千米,220千米,230千米,獲得如下不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)問這次被抽檢的電動汽車共有幾輛?并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)估計這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為多少千米?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c,自變量x與函數(shù)y的對應值如表:
x | … | ﹣5 | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | … |
y | … | 4 | 0 | ﹣2 | ﹣2 | 0 | 4 | … |
下列說法正確的是( )
A.拋物線的開口向下
B.當x>﹣3時,y隨x的增大而增大
C.二次函數(shù)的最小值是﹣2
D.拋物線的對稱軸是x=﹣
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明是個愛動腦筋的孩子,他在學完與圓有關(guān)的角圓周角、圓心角后,意猶未盡,又查閱到了與圓有關(guān)的另一種角﹣﹣﹣﹣﹣﹣弦切角.請同學們先仔細閱讀下面的材料,再完成后面的問題.
材料:頂點在圓上,一邊與圓相交,另一邊與圓相切的角叫做弦切角.如圖1,弧 是弦切角∠PAB所夾的弧,他發(fā)現(xiàn)弦切角與它所夾的弧所對的圓周角有關(guān)系.
問題1:如圖2,直線DB切⊙O于點A,∠PCA是圓周角,當圓心O位于邊AC上時,
求證:∠PAD=∠PCA,請你寫出這個證明過程.
問題拓展:
如果圓心O不在∠PCA的邊上,∠PAD=∠PCA還成立嗎?如圖3,當圓心O在∠PCA的內(nèi)部時,小明證明了這個結(jié)論是成立的.他的思路是:作直線AE,聯(lián)結(jié)PE,由問題1的結(jié)論可知∠PAD=∠PEA,而∠PCA=∠PEA,從而證明∠PAD=∠PC.
問題2:如圖4,當圓心O在∠PCA的外部時,∠PAD=∠PCA仍然成立.請你仿照小明的思路證明這個結(jié)論.
運用:如圖5,AD是△ABC中∠BAC的平分線,經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D,與AB、AC分別相交于E、F.求證:EF∥BC.(提示:可以直接使用本題中的結(jié)論)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m﹣1=0;
(1)求證:不論m 任何實數(shù),方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若方程的兩根為x1、x2且滿足 ,求m的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用適當方法解下列方程
(1)x(x+4)=8x+12
(2)(x+3)2=25(x﹣1)2
(3)(x+1)(x+8)=﹣12
(4)x4﹣x2﹣6=0.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,且過點A (3,0),二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=1.下列結(jié)論:①b2>4ac;②ac>0; ③a﹣b+c>0; ④4a+2b+c<0.其中錯誤的結(jié)論有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校初三年級(1)班要舉行一場畢業(yè)聯(lián)歡會.規(guī)定每個同學分別轉(zhuǎn)動下圖中兩個可以自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤A、B(轉(zhuǎn)盤A被均勻分成三等份.每份分別標上1.2,3三個數(shù)宇.轉(zhuǎn)盤B被均勻分成二等份.每份分別標上4,5兩個數(shù)字).若兩個轉(zhuǎn)盤停止后指針所指區(qū)域的數(shù)字都為偶數(shù)(如果指針恰好指在分格線上.那么重轉(zhuǎn)直到指針指向某一數(shù)字所在區(qū)域為止).則這個同學要表演唱歌節(jié)目.請求出這個同學表演唱歌節(jié)目的概率(要求用畫樹狀圖或列表方法求解)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2013年9月23日強臺風“天兔”登錄深圳,伴隨著就是狂風暴雨梧桐山山坡上有一棵與水平面垂直的大樹,臺風過后,大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上,樹的頂部恰好接觸到坡面(如圖所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得樹干的傾斜角為∠BAC=38°,大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=3m.
(1)求∠DAC的度數(shù);
(2)求這棵大樹折斷前的高度?(結(jié)果保留根號).
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